Ein Elektron auf dem Weg durch die Braunsche Röhre



Im Folgenden möchten wir untersuchen, wie sich ein Elektron auf dem Weg durch die Braunsche Röhre verhält (zur Orientierung Abb.1). Zuerst wird ein Metall im Innern der Röhre erhitzt, wodurch Elektronen emmitiert werden. Wie kann man es nun schaffen, die Elektronen als gebüdelten Strahl durch die Röhre zu schicken? Ganz einfach: Der Wehneltzylinder ist wie das Elektron negativ geladen, die Anode danach positiv. Durch gleichzeitiges Abstoßen der Elektronen im Zylinder und Anziehung durch die hoch positiv geladene Anode gelingt die Bündelung der Elektronen. 
Nach dem Austritt aus dem Wehneltzylinder befindet sich das Elektron also auf dem Weg zur positiv geladenen Anode. Interessant ist hierbei die Frage, mit welcher Geschwindigkeit sich das Elektron in der Röhre bewegt. Diese physikalische Gesetzmäßigkeit müsste uns allen schon aus der Jg.11 bekannt sein. Es handelt sich hierbei um einfache Energieerhaltung (die potentielle Energie des Elektrons am Ort der Glühkathode wird in kinetische Energie umgewandelt).
Aus der Mechanik kennen wir die Formel der potentielle Energie (Epot=m*g*h) und der kinetischen Energie (Ekin=1/2mv²). Für die potentielle Energie im elektrischen Feld lässt sich folgende Formel ermitteln.

\[W = F_{el} *s=E*q*s \;\ mit q=e\]

\[= E*e*s = E*e*d \;\ mit \;\ s=d\]

\[\frac{U}{d}*e*d=U*e=E_{kin}\]

\[E_{pot}\;\ wird \;\ zu \;\ E_{kin}\]

\[mit \;\ E_{kin} = \frac{1}{2}m_e*v^2\]

\[\Rightarrow U*e=\frac{1}{2}m_ev^2\]

\[\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2*U_a*e}{m_e}} \quad U_a=Anodenspannung\]

Mit dieser Formel lässt sich also ermitteln, welche Geschwindigkeit ein Elektron hinter der Anode hat. 
Durch die Anode gelangt das Elektron dann zu dem "Ablenksystem" (Abb.1 horizontale und vertikale Platten), welches das Elektron dann zu der richtigen Position auf dem Schirm lenkt. Wir wollen dieses Ablenksystem am Beispiel der horizontalen einmal genauer anschauen.  Das Elektron muss also irgendwie in den Platten abgelenkt werden (Abb.2). Auch an dieser Stelle lässt sich auf ein bekanntes physikalisches Gesetz aus der Jg.11 zurückschließen. Das Superpositionsprinzip, die Überlagerung zweier Bewegungen. Zum einen haben wir dort die geradlinige gleichförmige Bewegung zum Schirms der Röhre (x = v0*t) und zum anderen die gleichmäßigt beschleunigte Bewegung auf Grund der Kraft, die das Elektron zu der Platte des Kondensators zieht (y=1/2at² mit a = Fel/me). Weiterhin erhält man durch umformen und einsetzten der schon bekannten Formel für die Geschwindigkeit v0 eine Formel für die Ablenkung eines Elektrons in y-Richtung im Plattenkondensator, wobei Ua die Spannung am Anfang der Braunschen Röhre und Uk die Spannung am Kondensator angibt.

\[x = v_0*t \qquad mit \;\ v_0=\sqrt{\frac{2*U_a*e}{m_e}}\]

\[y=\frac{1}{2}*a*t^2 \qquad mit \;\ a =\frac{F_{el}}{m_e}\]

\[=\frac{1}{2}*\frac{F_{el}}{m_e}*t^2\]

\[=\frac{1}{2}*\frac{E*e}{m_e}*t^2\]

\[=\frac{1}{2}*\frac{U*e}{d*m_e}*t^2 \qquad mit \;\ t=\frac{x}{v_0}\]

 \[=\frac{1}{2}*\frac{U*e}{d*m_e}*\frac{x^2}{v_0^2}\]

\[= \frac{U}{d*m_e}*\frac{x^2}{\frac{2*U_a*e}{m_e}}=\frac{1}{2}*\frac{U*\not{e}*\not{m_e}}{d*\not{m_e}*2*U_a*\not{e}}*x^2\]

\[=\frac{1}{4}*\frac{U}{U_a*d}*x^2=y\]


Mit den vertikalen Kondensatorplatten lässt sich nach dem gleichen Verfahren die Auslenkung nach links oder rechts berechnen. Der letzte Abschnitt auf dem Weg durch die Braunsche Röhre ist der Weg des Elektrons bis zum Schirm, wo es durch Phoshor zum kurzzeitigen Aufleuchten gebracht wird. Die Bewegung eines Elektrons ist immer geradlinig. Somit ließe sich sehr einfach der Auslenkungswinkel des Elektrons bestimmen. Dazu muss man nur die Länge des Kondensators, die Ablenkung im Kondensator (Formel oben). Darüber lässt sich zum Beispiel mit Hilfe der Differenzialrechnung eine Funktion für den weiteren geradlinigen Verlauf des Elektrons und somit auch der Auslenkungswinkel gegenüber des Kondensators berechnen. Das Elektron ist nun am Ende seinen Weges und blinkt für uns Beobachter auf dem Schirm auf. So lässt sich zum Beispiel mit einem Oszillator eine Sinuskurve darstellen!