Die Hallsonde und der Halleffekt

Wenn Elektronen in einem stromdurchflossenen Leiter durch ein Magnetfeld beeinflusst werden tritt der so genannte Hallefekt auf. Der amerikanischen Physiker Edwin Herbert Hall (1855-1938) entdeckte diesen Effekt 1879. 
Wir gehen davon aus, dass das Magnetfeld senkrecht zum stromdurchflossenen Leiter wirkt (siehe auch Abb.1). Auf die mit der Driftgeschwindigkeit v bewegten Elektronen wirkt senkrecht zum Strom die Lorentz-Kraft FL. Dies führt dazu, dass die Elektronen im Leiter nach in unserem Beispiel (Abb.1) nach "oben" verschoben werden. Es ensteht bei konstantem Strom und bei einem konstanten Magnetfeld einElektronenmangel, in unserem Beispiel "unten" am Leiter, und einElektronenüberschuss oben am Leiter. So wird die eine Seite positiv und die andere Seite negativ aufgeladen. Die dort entstehende Spannung heißt Hallspannung, die durch eine Spannungsmessung nachgewiesen werden kann.

Zur Berechnung der Hallspannung leiten wir jetzt eine Formel her (Herleitung nur LK). Im stromdurchflossenen Leiter, welcher durch ein Magnetfeld beeinflusst wird, wirkt gleichzeitig die elektrische Kraft und die Lorentzkraft. Man erhält also folgendes Kräfteverhältnis:

\[F_L = F_{el}\]

\[B*e*v=E*e\]

\[\Leftrightarrow B*v=E \qquad mit \;\ E=\frac{U}{d}\]

\[\Leftrightarrow B*v=\frac{U_H}{d}\] 


Wie schon bei der Herleitung der Formel für die Lorentzkraft lässt sich vdurch die allgemein Definition der Stromstärke folgendermaßen herleiten:

\[I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{\Delta N*e}{t} \qquad mit \;\ n=\frac{\Delta N}{\Delta V}\]

\[\Delta N = die \;\ Anzahl \;\ der \;\ Ladungsträger \]

\[n = Ladungsträgerkonzentration\]

\[=\frac{\Delta V *n*e}{\Delta t} \qquad mit \;\ \Delta V=A*\Delta I\]

\[=\frac{A*\Delta I *n*e}{\Delta t}\]

\[= A*v*n*e\]

\[\Rightarrow v=\frac{I}{a*n*e}\]

Durch einsetzten von v erhält man nun folgende Gleichung für die Hallspannung:

\[v=\frac{I}{A*n*e}\]

\[\Rightarrow B*\frac{I}{A*n*e}=\frac{U_H}{d}\]

\[\Leftrightarrow U_H=\frac{B*I}{b*n*e}\]

Diese Formel lässt sich aufsplitten in die Hallkonstante RH und die variablen Größen I (Stromstärke), B (magnetische Flussdichte), d (Dicke des Leiters).

\[U_H =R_H*\frac{I*B}{b}\]

\[wobei \;\ R_H=\frac{1}{n*e}\]

Somit ist es also möglich, bei gegebener Dicke d der Hallsonde und bekannten Stromfluss, die magnetische Flussdichte, also die Stärke von Magnetfeldern zu messen!