Herleitung der e-Funktion bei der Entladung eines Kondensators

Im Folgenden möchten wir demonstrieren, wie eine e-Funktion, zum Beispiel für den Ladungsverlauf bei der Entladung eines Kondensators, hergeleitet wird. Dabei gehen wir natürlich zuerst von der Allgemeinform einer e-Funktion aus.

\[f(t)=A*e^{e-k*t}\]


Es fällt auf, dass zwei Variablen zu einer konkreten Gleichung nicht gegeben sind. A und k. Allerdings lässt sich eine dieser Variablen schnell bestimmen. Die Variable A liefert uns, wenn wir die Zeit auf den Startwert (0) setzen, den Ausgangswert einer Funktion (hier: Ladung Q0).

\[Q(t)=Q_0*e^{e-k*t}\]


Jetzt fehlt nur noch die Variable k. Diese bekommt man durch eine kleine Umformung und der Anwendung des "Logarithmus naturalis"(ln) heraus. Bei der Anwendung des Logarithmus bleiben bei der e-Funktion nämlich nur die Exponenten zurück, womit die Rechnung sehr vereinfacht wird.

\[Q(t)=Q_0*e^{-k*t}\]

\[\Leftrightarrow \frac{Q(t)}{Q_0}=e^{-k*t}\]

\[\Leftrightarrow \ln{\frac{Q(t)}{Q_0}}=\ln{e^{-k*t}}\]

\[\Leftrightarrow \ln{\frac{Q(t)}{Q_t}}=-k*t\]

\[\Leftrightarrow k=-\frac{\ln\frac{Q(t)}{Q_0}}{t}\]

\[\Leftrightarrow k=\frac{\ln\frac{Q_0}{Q(t)}}{t}\]





So kann man für jeden Graphen bei einer Entladung der Stromstärke die dazugehörige Gleichung bestimmen. Es muss nur noch der Ausgangswert (I0) und ein weiterer Punkt abgelesen und eingesetzt werden. Danach kann man zum Beispiel durch Integration die Ladung bestimmen!

Ist es aus irgendwelchen Gründen nicht möglich den Anfangswert einer Funktion am Graphen abzulesen, kann man die e-Funktion auch mit 2 beliebigen Punkten herleiten:

Gegeben sind zwei Punkte:

\[Q(2s)=6C\]

\[Q(4s)=4C\]

\[6C = Q_0*e^{-k*2s}\]

\[4C = Q_0*e^{-k*4s}\]

\[-------------------------\]

\[1,5=e^{k*2s}\]

\[\Leftrightarrow k= \frac{\ln{1,5}}{2s}\approx0,20\frac{1}{s}\]


Hierbei hat man durch die zwei gegebenen Punkte auch zwei Funktionsgleichungen gegeben. Man dividiert nun die erste Gleichung durch die zweite Gleichung und erhält eine Gleichung, die sich wieder einfach nach k umformen lässt. Dann muss man nun noch mit Hilfe eines Punktes Q0 berechnen! 
Wir hoffen, dass die Herleitung der e-Funktion für alle verständlich war. Natürlich kann man diese Herleitung nicht für diesen Sachverhalt beim Kondensator anwenden, sondern auch auf andere physikalische und mathematische Zusammenhänge.