Absorption von Gammastrahlung

Bei der Untersuchung der Absorption von Gammastrahlung stellt man fest, dass dies nicht linear verläuft, sondern sich pro Zeitintervall ein bestimmter Prozentsatz des Stoffes in einem bestimmten Zeitintervall zerfällt. Dies deutet auf den Zerfall typisch einer e-Funktion hin, die an dieser Stell kurz hergeleitet werden soll. 
Beispiel: Barium137 wird bei einem Versuch in einem Reagenzglas aufgefangen und in Zeitabständen von einigen Sekunden die Zählrate bestimmt. Man weiß: Nach 360 Sekunden liegt die Impulsrate n bei 100 Impulse/zehntel-Sekunde und nach 180 Sekunden liegt die Zählrate n bei etwa 220 Impulse/zehntel-Sekunde. Es soll nun eine Funktion für die zeitliche Abhängigkeit der Impulsrate gefunden werden.

 

\[Es \;\ gibt \;\ die \;\ Gleichung \;\ n(t)=n_0*e^{\lambda*t}\]

\[für \;\ die \;\ gegebenen \;\ Punkte \]

\[\;\ gelten \;\ folgende \;\ Gleichungen:\]

\[220=n_0*e^{\lambda*180}\]

\[100=n_0*e^{\lambda*360}\]

\[Division \;\ der \;\ Gleichungen \;\ ergibt:\]

\[2,2 = e^{-\lambda*180} \qquad \mid Logarithmus \;\ anwenden \]

\[\Leftrightarrow \ln(2,2)=-\lambda*180\]

\[\Leftrightarrow \lambda=\frac{\ln(2,2)}{-180}\approx-0,0044\]

\[Es \;\ ergibt \;\ sich \;\ jetzt \;\ für \;\ n_0:\]

\[100=n_0e^{-0,0044*360}\]

\[\Leftrightarrow n_0 \approx 487,44\]

\[Somit \;\ als \;\ Gleichung \;\ für \;\ die \;\ Impulsrate \;\: n(t)=487*e^{-0,0044*t} \]


Man bekommt am Ende eine spezielle Funktion heraus, die die Abnahme der Impulsrate bei unserem Beispielsstoff Barium137 beschreibt. 
Die Veränderung der Impulsrate basiert auf einer immer geringer werdenden Zahl an Kerne, die sich weiter umwandeln. Dabei ist die Impulsrate n proportional zur Anzahl der instabilen Kerne N. Daraus lässt sich das sogenannte Zerfallsgesetz aufstellen, dazu mehr im zugehörigen Kapitel.