Gesetz des radioaktiven Zerfalls

Die Veränderung der Impulsrate basiert auf einer immer geringer werdenden Zahl an Kerne, die sich weiter umwandeln. Dabei ist die Impulsrate n proportional zur Anzahl der instabilen Kerne N. Es kann daher auch eine e-Funktion für die Anzahl der instabilen Kerne N beschrieben werden - das sogenannte Zerfallsgesetz: N(t) = N0*eλ*t, λ nennt man dabei dieZerfallskonstate und N0 die Anzahl der Kerne zur Zeit t = 0.

Die Aktivität A eines radioaktiven Stoffes kann man jetzt über das Zerfallsgesetz beschreiben, denn die AKtivität ist nichts weniger als die momentane Änderung der Anzahl der Kerne der Funktion N(t), also die Ableitung - die momentane Steigung - der Funktion:

\[A=-\frac{\Delta N(t)}{\Delta t} = -N(t) =\lambda *N(t)\]

Die Aktivität gibt man in der Einheit Bq (Becquerel) an. Dabei gibt diese Einheit die Anzahl der Kernprozesse pro Sekunde an. Über diese Gesetzmäßigkeit ergibt sich auch für die Aktivität eine zeitlich abhängige Funktion: A(t) = A0*e-λ*t.
Charakteristisch für jeden Stoff, jedes Präparat ist die Halbwertzeit tH, bei der genaue die Hälfte der Kernprozesse stattgefunden hat. Die Halbwertzeit ist in der Nuklidkarte bei jedem Stoff angegeben. Wie berechnet sich die Halbwertszeit bei einer e-Funktion? Hier am Beispiel der Aktivitätsfunktion:

\[A(t)=A_0*e^{-\lambda t_H}\]

\[Bei \;\ der \;\ Halbwertszeit \;\ ist \;\ nur \;\ noch \;\ \frac{1}{2}A_0 \;\ vorhanden:\]

\[\frac{1}{2}A_0=A_0*e^{-\lambda t_H}\]

\[\Leftrightarrow \frac{1}{2}=e^{-\lambda t_H}\]

\[\Leftrightarrow \ln(\frac{1}{2})=-\lambda*t_h\]

\[\Leftrightarrow t_H =\frac{ln(2)}{\lambda}\]