Reihenschaltung von Kondensator und Spule


Bauteile wie Kondensatoren, Spulen und ohmsche Widerstände werden gerne in Stromkreisen einer Wechselstromschaltung verschaltet. Typische Beispiele für solche Schaltungen sind die klassischen Beispiele der Reihen - und Parallelschaltung. In diesem Fall beschäftigen wir uns mit der Reihneschaltung von Kondensator und Spule (Abb.1) und stellen eine Gleichung für den Gesamtwidestand auf. Diese Gleichung untersuchen wir auf ihr Grenzwertverhalten, um so schließlich auch einen Graphen zum Widerstandsverlauf zu skizzieren. 
Zum allgemeinen Verständnis ist zunächst einmal wichtig zu wissen, dass die Stromstärke bei der Reihenschaltung von Spule und Kondensator phasengleich ist, und nur die Spannung eine Phasendifferenz von -pi/2 (90°) bzw. + pi/2 (90°) hat. Dieses kann vereinfacht in einem Zeigerdiagramm veranschaulicht werden (Abb.1). Für den Widerstand einer Schaltung gilt im Allgemeinen: Xges= uges/iges. Da die Stromstärke überall gleich ist und entweder bekannt ist, oder einfach gemessen werden kann, so gilt es zur Ermittlung der wirkenden Spannung eine kleine Rechnung durchzuführen. Zu diesem Zweck dient unter anderem dieses Zeigerdiagramm. Da die Spannungen entgegengesetzt sind, heben sie sich sozusagen teilweise auf und für die Gesamtspannung gilt dann einfach: uges = uL-uC. Die Herleitung einer allgemeinen Formel für den Gesamtwiderstand funktioniert dann wie folgt, die Gleichungen für XL und XCerhalten wir aus dem Kapitel "Wechselstromwiderstände" .

Mit i und u sind im weiteren Verlauf die Scheitelwerte gemeint.

\[X_{ges}=\frac{u_{ges}}{i_{ges}}=\frac{u_L}{i}-\frac{u_C}{i}\]

\[=|X_L-X_C|\]

\[=|\omega L-\frac{1}{\omega C}| \]

\[=|2\pi f L-\frac{1}{2\pi fC}|\]


Als kleine Ergänzung: Die Betragsstriche sind in diesem Fall wichtig, da es keinen negativen Widerstand geben kann und ein negativer Wert durch Subtraktion der beiden Spannung entstehen könnte.
Betrachten wir also nun einmal das Grenzwertverhalten, der Funktion für den Gesamtwiderstand, welche von der Frequenz abhängig ist. Stellt man den Grenzwert lim->0 und lim->unendlich auf, so stellt man fest, dass die Funktion in beiden Fällen gegen hohe Widerstandswerte (gegen Unendlich) läuft. Dies klingt logisch, aber was passiert, wenn die Widerstände gleich groß sind? In diesem Fall ist der Widerstand 0 und somit lässt sich der Verlauf der Funktion mit einer Art Parabel beschreiben. In diesem Fall ist es zum Beispiel interessant die Scheitelfrequenz zu berechnen.

\[wenn \;\ X_L = X_C, \;\ dann \;\ gilt:\]

\[\omega L = \frac{1}{\omega C}\]

\[\Leftrightarrow 2\pi fL=\frac{1}{2\pi fC}\]

\[so \;\ kann \;\ beispielsweise \;\ die \;\ Induktivität \;\ oder \;\ die \;\ Frequenz \;\ berechnet \;\ werden:\]

\[\Rightarrow L =\frac{1}{4*\pi^2 f^2 C}\]

\[\Rightarrow f^2=\frac{1}{4\pi^2 LC}\]

\[\Leftrightarrow f = \frac{1}{2\pi}*\frac{1}{\sqrt{LC}}\]