Erzeugung sinusförmiger Wechselspannung

Eine Möglichkeit von Erzeugung sinusförmiger Wechselspanung ist die Rotation einer Leiterschleife, denn dabei wird an den Enden der Schleife eine sinusförmige Wechselspannung gemessen. In Abbildung 1 sieht man die Rotation von der Seite, wobei die Schleife dort schon um den Winkel a (alpha) rotiert ist. Die rotierende Schleife im Magnetfeld deutet auf eine allgemeine Flächenänderung der vom Magnetfeld durchsetzten Fläche hin. Aus diesem Grund ist zur Bestimmen der (Wechsel-)Spannung zunächst die Bestimmung der Flächenfunktion nötigt, da die Flächenänderung mit in das Induktionsgesetz eingeht.
Bei der Schleife gehen wir in diesem Fall von einem Rechteck mit den Kantenlängen a und b aus. Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich allgemein über A = a*b, wobei dies nur die Fläche der Leiterschleife und nicht die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche beschreibt. Dafür ist die obere Kante - an der auch nur die sinusförmige Wechselspannung gemessen wird - "zuständig". Zusätzlich zur normalen Flächenberechnung kommt noch die Rotation um einen Winkle, der in diesem Beispiel über den Kosinus erfolgt. Somit gilt vorerst für die Flächenfunktion A(alpha)= a*b*cos(alpha), wobei "a" und "b" zu dem maximalen Flächeninhalt Amax zusammengefasst werden, denn bei einer Drehung um 90 Grad ergibt der Kosinus 1 und somit wird die komplette Fläche vom Magnetfeld durchsetzt. Die Grundlegende Flächenfunktion ist nun also aufgestellt, und die weitere Herleitung erfolgt folgendermaßen:

\[A(\alpha) = a*b*cos(\alpha)\]

\[\Leftrightarrow A(\alpha)=A_{max}*cos(\alpha)\]

\[für \;\ den \;\ Winkel \;\ \alpha \;\ gilt:\]

\[\omega = \frac{\alpha}{t} (\omega \;\ ist \;\ die \;\ Winkel- \;\ bzw. \;\ Rotationsgeschwindigkeit)\]

\[\Leftrightarrow \omega *t=\alpha\]

\[\Rightarrow A(t)=A_{max}*cos(\omega*t)\]

\[Ableitung, \;\ um \;\ die \;\ Flächenänderung \;\ zu \;\ bekommen \;\ (Induktionsgesetz):\]

\[\dot A(t) =-A_{max}*\omega*sin(\omega * t)\]

\[einsetzen \;\ ins \;\ Induktionsgesetz:\]

\[u_{ind}(t)=-n*B*\dot A (t) \qquad Achtung: \;\ kleines \;\ "u" \;\ wegen \;\ Wechselstrom!\]

\[u_{ind}(t)=+n*B*A_{max}*\omega*sin(\omega*t)\]

\[den \;\ Scheitelwert \;\ erreicht \;\ die \;\ Spannungsfunktion \;\ für \;\ sin(\omega*t)=1,\]

\[dann \;\ gilt:\]

\[u_{max} =n*B*A_{max}*\omega\]

\[allgemein \;\ kann \;\ man \;\ die \;\ Spannungsfunktion \;\ dann \;\ auch \;\ so \;\ auffassen:\]

\[u_{ind}(t)=u_{max}*sin(\omega *t)\]