Hochpassfilter
In diesem Kapitel beschreiben wir Euch durch einfache Schaltungen von Kondensator, Spule und Widerstand das Prinzip von Frequenzfiltern. Wir möchten darauf hinweisen, dass es sich hierbei nicht um regulären Physik-LK Stoff für das Abitur 2009 handelt, sondern ein Vertiefungsgebiet bezüglich Schaltungen mit Kondensator, Spule und Widerstand darstellt. Wir untersuchen nun zuerst den "idealen Hochpassfilter", zunächst eine Reihenschaltung aus ohmschen Widerstand und einer Spule (Abb.1). Die Bezeichnungn Ue und Ua interessieren uns zunächst noch nicht, da wir zuerst eine Formel für den Gesamtwiderstand herleiten möchten.
Den gleichen Zweck erfüllt allerdings auch eine Schaltung mit einer Reihenschaltung aus Kondensator und ohmschen Widerstand, wobei dort die Ausgangsspannung am ohmschen Widerstand entnommen wird (Abb.2). Diese verschiedenen Schaltungen lassen sich einfach über die Formel für die Widerstände an Kondensator und Spule "beweisen" (Formeln siehe Kapitel Wechselstromwiderstände). Schaltung 1 (Abb.1): Die Spule hat bei hohen Frequenzen einen hohen Widerstand (lineare Abhängigkeit) und somit "fällt" an dieser Stelle viel Spannung ab. Schaltung 2 (Abb.2): Der Kondensator hat bei hohen Frequenzen einen kleinen Widerstand (umgekehrt proportional) und sorgt somit dafür, dass am ohmschen Widerstand mehr "Spannung abfällt".
In Kapiteln, in denen es um Reihen- und Parallelschaltung von Spule, Kondensator und Widerständen ging, sind wir die Berechnung der Widerstände über Phasendiagramme angegangen (bei Bedarf die Kapitel einmal anschauen). Trotzdem als kurze Erklärung der nachfolgenden Herleitung: Der Strom ist an allen Bauteilen gleich (es ist eine Reihenschaltung!) und auch die Spannung am ohmschen Widerstand ist mit der Stromstärke in Phase. Die Spannung an der Spule eilt um 90° (pi/2) hinterher. Durch die Phasenverschiebung der Spannung lässt sich die Gesamtspannung über den Satz des Pythagoras ermitteln und man kann wie folgt eine Gleichung für die Gesamtspannung herleiten.
\begin{align*}
\hat{u}_{Ges}&=\sqrt{\hat{u}^2_R+\hat{u}_C^2}\\
\hat{i}_{Ges}&=\hat{i}\\\\
X_{Ges}&=\frac{\hat{u}_{Ges}}{\hat{i}_{Ges}}\\
&=\frac{\sqrt{\hat{u}^2_R+\hat{u}_C^2}}{\hat{i}}\\
&=\sqrt{\frac{\sqrt{\hat{u}^2_R+\hat{u}_C^2}}{\hat{i}^2}}\\
&=\sqrt{\frac{\hat{u}_R^2}{\hat{i}^2}+\frac{\hat{u}_C^2}{\hat{i}^2}}\\
&=\sqrt{R^2+X_C^2}\\
&\Rightarrow \boxed{X_{Ges}=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\omega \cdot C}\right)^2}}
\end{align*}
Es gibt nun die Möglichkeit das Verhältnis zwischen der Ein - und Ausgangsspannung bzw. zwischen dem Gesamtwiderstand und dem Widerstand am Kondensator zu berechnen. Durch eine einfach Umformung wäre es somit auch möglich die Ausgangsspannung zu berechnen. Wichtig: Hierbei gehen wir von Abbildung 1 aus (XC aus der oberen Gleichung ist dann gleich XL)!
\begin{align*}
\frac{U_a}{U_e}&=\frac{R_a}{R_{ges}}=\frac{X_L}{\sqrt{R^2+X_L^2}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{\frac{R_a^2}{X_L^2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{R_a}{\omega L}\right)^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{R_a}{2\pi \cdot f \cdot L}\right)^2+1}}
\end{align*}